(10/22追記)
Ver2.3にて、以下の3本については、本記事で掲載したような不具合が解消されました。
 タイトーチェイスH.Q.
 ミッキーマウスのキャッスル・イリュージョン
 ラスタンサーガ

オリンピックゴールドについては同じ症状のままのようです。(※コメント欄より情報をいただきました)


(以下、2016/9/13時点)
Twitterの方で、ギアコンバーターで吸い出したゲームギアのソフトの拡張子を変えたら動作したというものがありましたので、ちょっと確認してみました。

手持ちのゲームギア対応ソフトのうち、タイトーチェイスH.Q. だけ、このような感じで、画面が変な色で表示され、STARTボタンも効かない状態でした。
 (J) (Rev A) [S][!]-2
どの場面も解像度、色がおかしい状態。
 (J) (Rev A) [S][!]-5 (J) (Rev A) [S][!]-6

ギアコンバーターでゲームギアのソフトインストールすると、microSDの\RetroFreak\Games フォルダの中に、拡張子gg(ファイル名:xxxxxx.gg)で保存されます。
この拡張子をsms(xxxxxx.sms)に変更し、起動してみます。

今回のタイトーチェイスH.Q.の場合、ゲームのファイル名は

Chase H.Q. (J) (Rev A) [S][!].GG

でしたので、これを、

Chase H.Q. (J) (Rev A) [S][!].SMS
に変更します。

で、レトロフリークから起動!
 (J) (Rev A) [S][!]-9
 (J) (Rev A) [S][!]-12
 (J) (Rev A) [S][!]-13
おお!出た!
できなかったコントローラー操作も、ちゃんと操作もできるようになりました!

 (J) (Rev A) [S][!]-16
ナンシーより緊急連絡、英語だった・・。


で、調べてみたところ、ゲームギアのソフトで、今回のようなモードの違うソフトが他にもあるようです。
とりあえずこの4本。
(9/13 さらに追記、コメント欄にて情報いただきました。ありがとうございます!)

(OK)タイトーチェイスH.Q.
(OK)ミッキーマウスのキャッスル・イリュージョン
(OK)ラスタンサーガ
(OK)オリンピックゴールド

実際に動作確認できた人いたら、教えてもらえるとありがたいです。
また、この4本以外にも同様なソフトがあるのでしょうか?

(9/6追記,9/13更新)
ゲームギアの動作状況のページにある、こちらの2本
(NG)アックスバトラー ゴールデンアックス伝説
(NG)ズールのゆめぼうけん
についての動作情報も求む!
こちらについてもコメント欄にて、情報をいただきました。どちらもNGだそうです。